考场上的完美答卷
考场上的完美答卷 (第1/2页)早晨七点五十分，高数教室。
林澈坐在第三排靠窗的位置，阳光斜照在摊开的空白草稿纸上，泛起一层毛茸茸的金边。教室里弥漫着考试前特有的紧张气息——翻书声、窃窃私语声、笔尖划纸声，还有前排女生拧开风油精的清脆声响。
他低头看着试卷。
《高等数学A（1）第一次月考》，题头印刷着宋体字。前世，这张卷子他得了61分，擦线及格，主要失分在最后两道证明题。他还记得赵建国教授批改时用红笔写的评语：“思路混乱，基础不牢，建议课后多练习。”
这一次，他要写一个完全不同的故事。
“考试开始。”
讲台上，监考的赵建国教授推了推老花镜，声音沉稳。他是系里有名的严师，五十多岁，头发花白但梳得整齐，中山装熨烫得一丝不苟。
林澈拿起笔。
第一题，求极限。$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$
前世他用了洛必达法则，计算过程中漏了一个系数，得出了$\frac{3}{5}$的错误答案。正确答案应该是$\frac{3}{5}$……不，等等。
林澈的笔尖停顿了。
记忆告诉他答案是$\frac{3}{5}$，但直觉在报警。他闭上眼睛，七年前的记忆像老照片一样在脑中展开——他记得考完对答案时，学霸张涛说第一题是$\frac{3}{5}$，但第二天赵建国讲解时，说正确答案是$\frac{3}{5}\cdot\frac{\cos0}{\cos0}$……不对，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，$\sin3x$等价于$3x$，所以——
笔尖落下：$\frac{3}{5}$。
写完后，林澈盯着那个数字看了三秒。有什么地方不对劲。他看向窗外，梧桐树的影子在地上轻轻摇晃。记忆和直觉在打架。
“同学，专心答题。”赵建国的声音从讲台传来。
林澈收回目光，继续往下做。
第二题，求导数。$y=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$
这道题前世他做对了，但步骤繁琐。现在他一眼看出可以直接用双曲函数性质简化：这其实就是$\operatorname{arsinh}x$的导数，等于$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$。
他在草稿纸上写下标准解法，然后在旁边用更小的字写了一行：“另解：由$y=\operatorname{arsinh}x$直接得。”
第三题，定积分。$\int_0^{\pi/2}\frac{\sinx}{1+\cosx}dx$
前世他用了万能公式代换，算了半页纸，最后还算错。现在他看到被积函数可以写成$\frac{\sinx}{1+\cosx}=\tan\frac{x}{2}$，而$\tan\frac{x}{2}$的原函数是$-2\ln|\cos\frac{x}{2}|$。
三十秒，答案：$\ln2$。
做到这里，林澈的速度明显超过了教室里所有人。笔尖划过纸张的声音稳定而密集，像精密的机械在运转。前排的苏雨薇回头看了他一眼，眼神里有点惊讶。
第四题，微分方程。$y''-3y'+2y=e^{2x}$
特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r_1=1,r_2=2$。特解形式应为$Axe^{2x}$，代入得$A=1$。通解$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+xe^{2x}$。
一气呵成。
第五题，空间解析几何。求过点$(1,2,3)$且与平面$x+y+z=1$垂直的直线方程。
方向向量即为平面法向量$(1,1,1)$，直线方程$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$。
林澈写完这题时，考试才过去十五分钟。大部分同学还在做第二题。
他放下笔，活动了一下手腕。窗外的阳光更亮了，照在试卷上有些反光。他侧过身，让阳光避开视线，这个动作引起了赵建国的注意。
教授从讲台走下来，皮鞋底敲击瓷砖地面的声音在安静的教室里格外清晰。他先是在过道里慢慢巡视，经过林澈身边时，目光在几乎写满的试卷上停留了两秒。
然后又绕回来。
这次他停在林澈桌边，弯腰看他的答题纸。
林澈能闻到教授身上淡淡的粉笔灰和旧书混合的味道。赵建国看了大概十秒钟，什么也没说，直起身继续巡视。但林澈注意到，教授走回讲台的步伐比刚才快了一些。
第六题，级数收敛性。$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$
用比值判别法，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+1}\cdot(\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{e}0$，$g(x)$严格递增，$g(1)>g(0)=0$，即$e^{-1}f(1)>0$，$f(1)>0$，这有可能成立，不矛盾。
所以不能直接证明。
他闭上眼睛，深呼吸。考场上的空气混着纸墨和汗水的味道。前世那些熬夜复习的夜晚在脑中浮现——他在图书馆抄过这道题的答案，赵建国在黑板上讲过……
构造函数$F(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后……然后要用罗尔定理！因为$F(0)=0$，还需要另一个零点才能用罗尔定理。但题目只给了$f(0)=0$，没给$f(1)=0$。
除非——
林澈睁开眼睛。
除非$f(1)$恰好等于某个值，使得$F(1)=F(0)$？不对，那太巧合了。
他的目光落在试卷的题号上：“七、证明题（15分）”。记忆的闸门突然打开：前世考完后，赵建国在讲解时说：“这道题的关键是构造辅助函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后对$g(x)$应用柯西中值定理，取另一个函数为$h(x)=e^{x^2}$……”
对了！
林澈几乎要拍桌子。他立刻在草稿纸上写：
“构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，$h(x)=e^{x^2}$。则$g(0)=0$，$h(0)=1$，且$g(x),h(x)$在$[0,1]$上满足柯西中值定理条件。故存在$\xi\in(0,1)$，使得
$\frac{g(1)-g(0)}{h(1)-h(0)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$
即$\frac{e^{-1}f(1)}{e-1}=\frac{e^{-\xi^2}[f'(\xi)-2\xif(\xi)]}{2\xie^{\xi^2}}$
化简得$f'(\xi)-2\xif(\xi)=\frac{2\xie^{2\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”
还是不对，右边仍有$f(1)$。
林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……
“还有三十分钟。”赵建国的声音响起。
教室里一阵骚动。时间压力开始显现。
林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。
已知条件只有这些。要证明存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。
这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\xi$。
一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……
等等，可以构造一个新函数！
林澈的笔尖在纸上疾书：
“考虑函数$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=f(1)-\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。
对$\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\varphi'(\xi)=0$。
而$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$
故$f'(\xi)=\frac{2\xif(1)}{e-1}e^{\xi^2}$
又由$\varphi(\xi)=0$得$f(\xi)=\frac{f(1)}{e-1}(e^{\xi^2}-1)$
两式消去$f(1)$，得$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。证毕。”
写完最后一个**，林澈长长舒了口气。
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